Тема, которой посвящен этот урок, - «Свойства сложения».На нем вы познакомитесь с переместительным и сочетательным свойствами сложения, рассмотрев их на конкретных примерах. Узнаете, в каких случаях можно ими пользоваться, чтобы сделать процесс вычисления более простым. Проверочные примеры помогут определить, насколько хорошо вы усвоили изученный материал.
Урок: Свойства сложения
Внимательно посмотрите на выражение:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?
Если мы перегруппируем числа по-другому:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.
Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.
В математике существует закон: Переместительный закон сложения . Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?
Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.
Посмотрите на следующие выражения и прочитайте их.
6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51)
Нет ли удобного способа для вычисления?
Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24.
(6 + 24) + 51 = …
(к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51)
Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Мы видим, что значение выражения осталось прежним.
Потренируемся еще на одном примере.
(27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)
Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ?
Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки.
27 + (19 + 1) = …
(к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)
Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Значение нашего выражения осталось таким же.
Сочетательный закон сложения : два соседних слагаемых можно заменить их суммой.
Теперь потренируемся пользоваться обоими законами. Нам нужно вычислить значение выражения:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Сначала воспользуемся переместительным свойством сложения, которое разрешает менять слагаемые местами. Поменяем местами слагаемые 14 и 2.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Теперь воспользуемся сочетательным свойством, которое разрешает нам два соседних слагаемых заменять их суммой.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Сначала узнаем значение суммы 38 и 2.
Теперь сумму 14 и 6.
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
Сделай дома
1. Вычислите сумму слагаемых по-разному:
а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16
2. Вычислите результаты выражений:
а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1
3. Вычислите сумму удобным способом:
а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13
Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.
Навигация по странице.
Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.
Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число . Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78 ; если к нулю прибавить целое положительное число 999 , то в результате получим число 999 .
Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю . Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0 , где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.
Основные свойства умножения целых чисел
Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел . Перечислим основные из этих свойств.
Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число . Так 1·a=a , где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a , это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556 ; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78 .
Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю , то есть, a·0=0 . Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.
Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю . В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0 , если либо a=0 , либо b=0 , либо и a и b равны нулю одновременно.
Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения
Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.
Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c , то есть, a·(b+c)=a·b+a·c . Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c .
Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.
Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.
Свойства вычитания целых чисел
Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a , b и c – произвольные целые числа):
- Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a .
- Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0 .
- Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c .
- И все другие свойства вычитания целых чисел.
Свойства деления целых чисел
Рассуждая о смысле деления целых чисел , мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b , когда произведение c·b равно a .
Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:
- Никакое целое число нельзя делить на нуль.
- Свойство деления нуля на произвольное целое число a , отличное от нуля: 0:a=0 .
- Свойство деления равных целых чисел: a:a=1 , где a – любое целое число, отличное от нуля.
- Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a .
- В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a .
- Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c , где a , b , и c такие целые числа, что и a и b делится на c , и c отлично от нуля.
- Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b , если a делится на c ; (a·b):c=a·(b:c) , если b делится на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , если и a и b делятся на c .
- Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a , b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b .
- Любые другие свойства деления целых чисел.
a, b - числа, над которыми выполняется сложение, с - результат сложения.
Сложение многозначных чисел производится поразрядно.
- Пример: 9067542 + 34981 = 9102523
Законы сложения.
- 1) переместительный: a + b = b + a;
Пример. 310 + 1454 = 1454 + 310. Каким бы мы способом не складывали результат будет равен 1764.
- 2) сочетательный: (a + b) + c = a + (b + c);
Пример: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;
- 3) закон сложения числа с нулём: а + 0 = а.
Вычитание
a (уменьшаемое) - b (вычитаемое) = c (разность)
- Пример: 42397 - 17963 = 24434
Свойства действий вычитания:
- 1) закон вычитания из суммы числа:
(a + b) - c = (a - c) + b, если а > c или a = c;
- 2) закон вычитания из числа суммы:
a - (b + c) = (a - b) - c;
- 3) закон вычитания из числа числа:
- 4) закон вычитания из числа нуля:
- 5) закон вычитания из суммы суммы:
(a + b) - (c + d) = ;
Задача как пример действий сложения и вычитания
Вычислите удобным способом:
- 1) (4981 - 2992) - 808;
- 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).
Применяем 2-й и 5-й законы вычитания:
- 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
- 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000
Умножение
Умножить число а на число b (b>1)- значит найти сумму b слагаемых (каждое слагаемое равно а).
a x b= а + а + ... + а
Если b = 1, то а x 1 = a.
a (первый множитель) x b (второй множитель) = c (произведение)
Например: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 х 3 + 34 х 2 = 171 + 68 + 239
Законы умножения
- 1) переместительный: a x b = b x a;
Пример. 15 х 110 = 110 х 15.
- 2) сочетательный: (a x b) x c = a x (b x c);
Пример: (9 х 30) х 10= 9 х (30 х 10) = 9 х 300= 2700;
(65 х 25) х 44 = (25 х 65) х 44 = 25 х (65 X 44)=25 х 2860 = 71500.
- 3) умножение на ноль:0 x a = 0;
Пример: 0 х 10 = 0.
- 4) распределительный закон умножения относительно действия сложения (вычитания):
a x (b + c) = a x b + a x c;
Задачи как пример действия умножения
Задача 1. Вычислить удобным способом:
- 1) (37 х 125) х 8;
- 2) 49 х 84 + 49 х 83 - 49 х 67.
1) (37 х 125) х 8 = 37 х (125 х 8) = 37 х 1000 = 37000;
2) 49 х 84 + 49 х 83 - 49 х 67 = 49 х (84 + 83 - 67) = 49 х 100 = 4900.
Задача 2. 1 квт/ч стоит 12 руб. Электрический утюг за 1 ч работы расходует 2 квт/ч. Утюгом два дня гладили бельё: в первый день- 3 ч, во второй- 2ч. Сколько стоит электроэнергия, израсходованная за два дня? Задачу решите сами, а мы дадим только ответы: за 3 ч- 72руб; за 2ч- 48руб.
Деление
а (делимое) : b (делитель) = с (частное)
Законы деления:
- 1) а: 1 = а, так как а х 1 = а;
- 2) 0: а =0, так как 0 х а = 0;
- 3) на 0 нельзя делить!
2224222: 2222 = 1001
Закон деления суммы (разности) на число:
- 1) (а + b) : с = а: с + b: с, с не равно 0;
- 2) (а - b) : с = а: с -b: с, с не равно 0;
Пример: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.
Закон деления произведения на число:
(а х b) :с = (а: с) х b = (b: с) х а, с не равно 0.